1.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 8 jours. Un échantillon contient initialement 40 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 14 jours ?
m0 = 40 mgt½ = 8 dt = 14 d
m = mg
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 4y′ + 100y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 4y′ + 100y = 0
ζ =
3.Moyen
Une canette de soda à 3 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 30 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,05 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 8 min.
T0 = 3 °CTa = 30 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 8 min
T = °C
4.Moyen
Résolvez y″ + 7y′ + 12y = 0 avec y(0) = 4 et y′(0) = -4. Trouvez y(2).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = -4
y(2) =
5.Difficile
Une cuve contient 400 L d’eau dans laquelle 5 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,05 kg de sel par litre entre à 2 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 75 min ?
V = 400 Lm0 = 5 kgc = 0,05 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
6.Difficile
Une cuve contient 100 L d’eau dans laquelle 5 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,2 kg de sel par litre entre à 4 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 45 min ?
V = 100 Lm0 = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
Corrigé
- 1. m = 11,89 mg
- 2. ζ = 0,2
- 3. T = 11,9 °C
- 4. y(2) = 0,02706
- 5. m = 9,691 kg
- 6. m = 17,52 kg
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