1.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 5y′ + 100y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 5y′ + 100y = 0
ζ =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une grandeur croît selon dy/dt = k·y avec k > 0. Elle vaut 50 à t = 0 et 185 à t = 2 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 50y(2) = 185
k = h⁻¹
3.Moyen
Résolvez y″ + 6y′ + 8y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = -4. Trouvez y(1).
y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 3y′(0) = -4
y(1) =
4.Moyen
Une tasse de café à 89 °C est laissée dans une pièce à 24 °C. Au bout de 18 min, sa température est de 33 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 89 °CTa = 24 °CT(18) = 33 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Résolvez y″ + 4y′ + 8y = 0 avec y(0) = 10 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(0,5) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 8y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.5) =
6.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = x2 pour x > 0, avec y(1) = 0. Trouvez y(3).
y′ + 2y/x = x2y(1) = 0
y(3) =
Corrigé
- 1. ζ = 0,25
- 2. k = 0,6542 h⁻¹
- 3. y(1) = 0,523
- 4. k = 0,1098 min⁻¹
- 5. y(0.5) = 5,083
- 6. y(3) = 5,378
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