1.Facile
Une grandeur décroît selon dy/dt = −k·y avec k > 0. Elle vaut 50 à t = 0 et 35 à t = 8 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 50y(8) = 35
k = h⁻¹
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Pour l’équation y″ + 10y′ + 24y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 10y′ + 24y = 0
r =
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 380 °C refroidit dans un atelier à 27 °C. Au bout de 44 min, sa température est de 121 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 55 °C ?
T0 = 380 °CTa = 27 °CT(44) = 121 °CT = 55 °C
t = min
4.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 420 °C refroidit dans un atelier à 22 °C. Au bout de 31 min, sa température est de 236 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 420 °CTa = 22 °CT(31) = 236 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Une cuve contient 100 L d’eau dans laquelle 20 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,25 kg de sel par litre entre à 4 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 24 kg de sel ?
V = 100 Lm0 = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 4 L/min
t = min
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 2y′ + 10y = 50 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,5) ; angles en radians.
y″ + 2y′ + 10y = 50y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
Corrigé
- 1. k = 0,04458 h⁻¹
- 2. r = −4
- 3. t = 84,27 min
- 4. k = 0,02002 min⁻¹
- 5. t = 40,24 min
- 6. y(0.5) = 3,777
Corrigés complets pas à pas : entraînez-vous sur ce thème sur examproblems.com.