1.Facile
Une culture bactérienne commence avec 5000 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,18 h⁻¹. Au bout de combien d’heures t y a-t-il 25000 cellules ?
N0 = 5000k = 0,18 h⁻¹N = 25000
t = h
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 30 jours. Un échantillon contient initialement 100 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 2 jours ?
m0 = 100 mgt½ = 30 dt = 2 d
m = mg
3.Moyen
Résolvez y″ + 4y′ + 4y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = 2. Trouvez y(1,5).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = 2
y(1.5) =
4.Moyen
Une tasse de café à 93 °C est laissée dans une pièce à 22 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,1 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 21 min.
T0 = 93 °CTa = 22 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 21 min
T = °C
5.Difficile
Une cuve contient 200 L d’eau dans laquelle 10 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,1 kg de sel par litre entre à 2 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 40 min ?
V = 200 Lm0 = 10 kgc = 0,1 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 20y = 20 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,5) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 20y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
Corrigé
- 1. t = 8,941 h
- 2. m = 95,48 mg
- 3. y(1.5) = 0,5477
- 4. T = 30,69 °C
- 5. m = 13,3 kg
- 6. y(0.5) = 0,9858
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