1.Facile
Une culture bactérienne commence avec 200 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,39 h⁻¹. Combien de cellules N y a-t-il au bout de 13 h ?
N0 = 200k = 0,39 h⁻¹t = 13 h
N =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une grandeur décroît selon dy/dt = −k·y avec k > 0. Elle vaut 400 à t = 0 et 120 à t = 11 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 400y(11) = 120
k = h⁻¹
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 480 °C refroidit dans un atelier à 30 °C. Au bout de 52 min, sa température est de 125 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 232 °C ?
T0 = 480 °CTa = 30 °CT(52) = 125 °CT = 232 °C
t = min
4.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 380 °C refroidit dans un atelier à 22 °C. Au bout de 32 min, sa température est de 122 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 380 °CTa = 22 °CT(32) = 122 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Une cuve contient 500 L d’eau pure. De la saumure contenant 0,2 kg de sel par litre entre à 2 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 10 min ?
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
6.Difficile
Résolvez y′ + 2y = 6e−0,5t avec y(0) = 1. Trouvez y(1).
y′ + 2y = 6e−0,5ty(0) = 1
y(1) =
Corrigé
- 1. N = 31835
- 2. k = 0,1095 h⁻¹
- 3. t = 26,78 min
- 4. k = 0,03986 min⁻¹
- 5. m = 3,921 kg
- 6. y(1) = 2,02
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