Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

Une grandeur croît selon dy/dt = k·y avec k > 0. Elle vaut 50 à t = 0 et 110 à t = 5 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.

Pour l’équation y″ + 6y′ + 8y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.

Une canette de soda à 6 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 23 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,05 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 15 min.

Une pièce d’acier forgé à 300 °C refroidit dans un atelier à 26 °C. Au bout de 26 min, sa température est de 189 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 124 °C ?

Résolvez le problème de Cauchy y′ + 3y/x = 6x pour x > 0, avec y(1) = 3. Trouvez y(3).

Une cuve contient 500 L d’eau dans laquelle 20 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,1 kg de sel par litre entre à 5 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 44 kg de sel ?