1.Facile
Pour l’équation y″ + 4y′ + 3y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 4y′ + 3y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une culture bactérienne commence avec 200 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,31 h⁻¹. Combien de cellules N y a-t-il au bout de 14 h ?
N0 = 200k = 0,31 h⁻¹t = 14 h
N =
3.Moyen
Une tasse de café à 86 °C est laissée dans une pièce à 24 °C. Au bout de 16 min, sa température est de 37 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 86 °CTa = 24 °CT(16) = 37 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Une tasse de café à 80 °C est laissée dans une pièce à 19 °C. Au bout de 21 min, sa température est de 30 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 45 °C ?
T0 = 80 °CTa = 19 °CT(21) = 30 °CT = 45 °C
t = min
5.Difficile
Une cuve contient 1000 L d’eau dans laquelle 5 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,05 kg de sel par litre entre à 20 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 28 kg de sel ?
V = 1000 Lm0 = 5 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min
t = min
6.Difficile
Résolvez y′ + 3y = 3e−2t avec y(0) = 0. Trouvez y(2).
y′ + 3y = 3e−2ty(0) = 0
y(2) =
Corrigé
- 1. r = −1
- 2. N = 15342
- 3. k = 0,09764 min⁻¹
- 4. t = 10,45 min
- 5. t = 35,78 min
- 6. y(2) = 0,04751
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