1.Facile
Une culture bactérienne commence avec 5000 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,26 h⁻¹. Au bout de combien d’heures t y a-t-il 15000 cellules ?
N0 = 5000k = 0,26 h⁻¹N = 15000
t = h
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Pour l’équation y″ + 6y′ + 8y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
3.Moyen
Une tasse de café à 95 °C est laissée dans une pièce à 20 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,11 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 15 min.
T0 = 95 °CTa = 20 °Ck = 0,11 min⁻¹t = 15 min
T = °C
4.Moyen
Une canette de soda à 3 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 23 °C. Au bout de 7 min, sa température est de 12 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 3 °CTa = 23 °CT(7) = 12 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = 3x2 pour x > 0, avec y(1) = −1. Trouvez y(2).
y′ + 2y/x = 3x2y(1) = −1
y(2) =
6.Difficile
Résolvez y′ + 3y = 7e−0,5t avec y(0) = 2. Trouvez y(1,5).
y′ + 3y = 7e−0,5ty(0) = 2
y(1.5) =
Corrigé
- 1. t = 4,225 h
- 2. r = −2
- 3. T = 34,4 °C
- 4. k = 0,08541 min⁻¹
- 5. y(2) = 4,4
- 6. y(1.5) = 1,314
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