1.Facile
Pour l’équation y″ + 9y′ + 20y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 9y′ + 20y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 23 jours. Un échantillon contient initialement 200 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 50 jours ?
m0 = 200 mgt½ = 23 dt = 50 d
m = mg
3.Moyen
Une tasse de café à 84 °C est laissée dans une pièce à 22 °C. Au bout de 16 min, sa température est de 60 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 74 °C ?
T0 = 84 °CTa = 22 °CT(16) = 60 °CT = 74 °C
t = min
4.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 480 °C refroidit dans un atelier à 29 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,05 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 15 min.
T0 = 480 °CTa = 29 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 15 min
T = °C
5.Difficile
Un système obéit à y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 29y = 58 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,5) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 29y = 58y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
Corrigé
- 1. r = −4
- 2. m = 44,32 mg
- 3. t = 5,749 min
- 4. T = 242 °C
- 5. ymax = 6,039
- 6. y(0.5) = 2,413
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