Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

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1.Facile
rr² + br + c?

Pour l’équation y″ + 10y′ + 24y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.

y″ + 10y′ + 24y = 0
r =
2.Facile
ty1

Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 1,8y′ + 9y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.

y″ + 1,8y′ + 9y = 0
ζ =
3.Moyen
tyy(0) = 5y(2) = ?

Résolvez y″ + 5y′ + 6y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = -4. Trouvez y(2).

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 5y′(0) = -4
y(2) =
4.Moyen
t (min)T (°C)29Ta​24 °C22 °C

Une tasse de café à 80 °C est laissée dans une pièce à 18 °C. Au bout de 29 min, sa température est de 24 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 22 °C ?

T0 = 80 °CTa = 18 °CT(29) = 24 °CT = 22 °C
t = min
5.Difficile
tyy(0) = 5y(1,5) = ?

Résolvez y″ + 4y′ + 8y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(1,5) ; angles en radians.

y″ + 4y′ + 8y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
6.Difficile
xy12(1, 5)y(2) = ?

Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = 2 pour x > 0, avec y(1) = 5. Trouvez y(2).

y′ + 2y/x = 2y(1) = 5
y(2) =

Corrigé

  1. 1. r = −4
  2. 2. ζ = 0,3
  3. 3. y(2) = 0,1866
  4. 4. t = 34,03 min
  5. 5. y(1.5) = −0,2113
  6. 6. y(2) = 2,417

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