Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
t (jours)m (mg)26 dm = ?

Un traceur radioactif a une demi-vie de 11 jours. Un échantillon contient initialement 40 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 26 jours ?

m0 = 40 mgt½ = 11 dt = 26 d
m = mg
2.Facile
ty1

Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 4,8y′ + 4y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.

y″ + 4,8y′ + 4y = 0
ζ =
3.Moyen
tyy(0) = 2y(2) = ?

Résolvez y″ + 8y′ + 15y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = 6. Trouvez y(2).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 2y′(0) = 6
y(2) =
4.Moyen
tyy(0) = 5y(2) = ?

Résolvez y″ + 6y′ + 9y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = -2. Trouvez y(2).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = -2
y(2) =
5.Difficile
xy12(1, 2)y(2) = ?

Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = 4 pour x > 0, avec y(1) = 2. Trouvez y(2).

y′ + 2y/x = 4y(1) = 2
y(2) =
6.Difficile
t (min)m (kg)60 minm = ?

Une cuve contient 400 L d’eau dans laquelle 20 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,2 kg de sel par litre entre à 10 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 60 min ?

V = 400 Lm0 = 20 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min
m = kg

Corrigé

  1. 1. m = 7,772 mg
  2. 2. ζ = 1,2
  3. 3. y(2) = 0,01956
  4. 4. y(2) = 0,07684
  5. 5. y(2) = 2,833
  6. 6. m = 66,61 kg

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