Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
ty1

Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 2y′ + 4y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.

y″ + 2y′ + 4y = 0
ζ =
2.Facile
rr² + br + c?

Pour l’équation y″ + 9y′ + 20y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.

y″ + 9y′ + 20y = 0
r =
3.Moyen
tyy(0) = 4y(0,5) = ?

Résolvez y″ + 4y′ + 3y = 0 avec y(0) = 4 et y′(0) = 6. Trouvez y(0,5).

y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 4y′(0) = 6
y(0.5) =
4.Moyen
tyy(0) = 3y(1) = ?

Résolvez y″ + 5y′ + 4y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = -2. Trouvez y(1).

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = -2
y(1) =
5.Difficile
tyK = 10ymax​ = ?

Un système obéit à y″ + 2y′ + 5y = 50 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.

y″ + 2y′ + 5y = 50y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Difficile
t (min)m (kg)t = ?124 kg

Une cuve contient 1000 L d’eau dans laquelle 10 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,2 kg de sel par litre entre à 10 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 124 kg de sel ?

V = 1000 Lm0 = 10 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min
t = min

Corrigé

  1. 1. ζ = 0,5
  2. 2. r = −4
  3. 3. y(0.5) = 4,343
  4. 4. y(1) = 1,22
  5. 5. ymax = 12,08
  6. 6. t = 91,63 min

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