1.Facile
Une grandeur croît selon dy/dt = k·y avec k > 0. Elle vaut 100 à t = 0 et 360 à t = 6 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 100y(6) = 360
k = h⁻¹
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 26 jours. Un échantillon contient initialement 120 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 38 jours ?
m0 = 120 mgt½ = 26 dt = 38 d
m = mg
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 400 °C refroidit dans un atelier à 23 °C. Au bout de 59 min, sa température est de 43 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 31 °C ?
T0 = 400 °CTa = 23 °CT(59) = 43 °CT = 31 °C
t = min
4.Moyen
Une tasse de café à 90 °C est laissée dans une pièce à 19 °C. Au bout de 14 min, sa température est de 50 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 33 °C ?
T0 = 90 °CTa = 19 °CT(14) = 50 °CT = 33 °C
t = min
5.Difficile
Résolvez y″ + y′ + 4,25y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(1) ; angles en radians.
y″ + y′ + 4,25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(1) =
6.Difficile
Résolvez y″ + 2y′ + 17y = 0 avec y(0) = 10 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(1) ; angles en radians.
y″ + 2y′ + 17y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(1) =
Corrigé
- 1. k = 0,2135 h⁻¹
- 2. m = 43,57 mg
- 3. t = 77,41 min
- 4. t = 27,43 min
- 5. y(1) = −0,2291
- 6. y(1) = −3,101
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