1.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 9,6y′ + 36y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 9,6y′ + 36y = 0
ζ =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 9 jours. Un échantillon contient initialement 80 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 15 jours ?
m0 = 80 mgt½ = 9 dt = 15 d
m = mg
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 320 °C refroidit dans un atelier à 20 °C. Au bout de 37 min, sa température est de 67 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 320 °CTa = 20 °CT(37) = 67 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Résolvez y″ + 4y′ + 4y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 2. Trouvez y(1).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 2
y(1) =
5.Difficile
Résolvez y″ + y′ + 9,25y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(1) ; angles en radians.
y″ + y′ + 9,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(1) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 8y = 80 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(1) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 8y = 80y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
Corrigé
- 1. ζ = 0,8
- 2. m = 25,2 mg
- 3. k = 0,0501 min⁻¹
- 4. y(1) = 0,6767
- 5. y(1) = −0,5862
- 6. y(1) = 9,333
Corrigés complets pas à pas : entraînez-vous sur ce thème sur examproblems.com.