Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

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1.Facile
t (jours)m (mg)29 dm = ?

Un traceur radioactif a une demi-vie de 22 jours. Un échantillon contient initialement 100 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 29 jours ?

m0 = 100 mgt½ = 22 dt = 29 d
m = mg
2.Facile
rr² + br + c?

Pour l’équation y″ + 6y′ + 8y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.

y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
3.Moyen
tyy(0) = 4y(2) = ?

Résolvez y″ + 8y′ + 15y = 0 avec y(0) = 4 et y′(0) = 0. Trouvez y(2).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 4y′(0) = 0
y(2) =
4.Moyen
tyy(0) = 4y(0,5) = ?

Résolvez y″ + 5y′ + 4y = 0 avec y(0) = 4 et y′(0) = 0. Trouvez y(0,5).

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 4y′(0) = 0
y(0.5) =
5.Difficile
xy13(1, −2)y(3) = ?

Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = 5x pour x > 0, avec y(1) = −2. Trouvez y(3).

y′ + 2y/x = 5xy(1) = −2
y(3) =
6.Difficile
tyK = 5ymax​ = ?

Un système obéit à y″ + 4y′ + 20y = 100 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.

y″ + 4y′ + 20y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =

Corrigé

  1. 1. m = 40,1 mg
  2. 2. r = −2
  3. 3. y(2) = 0,02452
  4. 4. y(0.5) = 3,054
  5. 5. y(3) = 10,89
  6. 6. ymax = 6,039

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