Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

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1.Facile
rr² + br + c?

Pour l’équation y″ + 7y′ + 6y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.

y″ + 7y′ + 6y = 0
r =
2.Facile
ty1

Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 30y′ + 100y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.

y″ + 30y′ + 100y = 0
ζ =
3.Moyen
tyy(0) = 2y(1,5) = ?

Résolvez y″ + 7y′ + 12y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = -4. Trouvez y(1,5).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 2y′(0) = -4
y(1.5) =
4.Moyen
t (min)T (°C)30Ta​25 °C

Une tasse de café à 86 °C est laissée dans une pièce à 23 °C. Au bout de 30 min, sa température est de 25 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.

T0 = 86 °CTa = 23 °CT(30) = 25 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
t (min)m (kg)t = ?18 kg

Une cuve contient 500 L d’eau pure. De la saumure contenant 0,05 kg de sel par litre entre à 20 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 18 kg de sel ?

V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min
t = min
6.Difficile
t (min)m (kg)t = ?30 kg

Une cuve contient 500 L d’eau dans laquelle 10 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,1 kg de sel par litre entre à 2 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 30 kg de sel ?

V = 500 Lm0 = 10 kgc = 0,1 kg/Lr = 2 L/min
t = min

Corrigé

  1. 1. r = −1
  2. 2. ζ = 1,5
  3. 3. y(1.5) = 0,03948
  4. 4. k = 0,115 min⁻¹
  5. 5. t = 31,82 min
  6. 6. t = 173,3 min

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