1.Facile
Une grandeur croît selon dy/dt = k·y avec k > 0. Elle vaut 250 à t = 0 et 425 à t = 5 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 250y(5) = 425
k = h⁻¹
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 2y′ + 16y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 2y′ + 16y = 0
ζ =
3.Moyen
Résolvez y″ + 4y′ + 3y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = 4. Trouvez y(0,5).
y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 3y′(0) = 4
y(0.5) =
4.Moyen
Une canette de soda à 3 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 23 °C. Au bout de 18 min, sa température est de 20 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 21 °C ?
T0 = 3 °CTa = 23 °CT(18) = 20 °CT = 21 °C
t = min
5.Difficile
Une cuve contient 1000 L d’eau dans laquelle 10 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,2 kg de sel par litre entre à 4 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 105 min ?
V = 1000 Lm0 = 10 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
6.Difficile
Résolvez y″ + 2y′ + 5y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(1) ; angles en radians.
y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1) =
Corrigé
- 1. k = 0,1061 h⁻¹
- 2. ζ = 0,25
- 3. y(0.5) = 3,161
- 4. t = 21,85 min
- 5. m = 75,16 kg
- 6. y(1) = 0,07082
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