1.Facile
Une culture bactérienne commence avec 1500 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,27 h⁻¹. Au bout de combien d’heures t y a-t-il 15000 cellules ?
N0 = 1500k = 0,27 h⁻¹N = 15000
t = h
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une grandeur croît selon dy/dt = k·y avec k > 0. Elle vaut 50 à t = 0 et 135 à t = 11 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 50y(11) = 135
k = h⁻¹
3.Moyen
Une tasse de café à 85 °C est laissée dans une pièce à 22 °C. Au bout de 28 min, sa température est de 49 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 30 °C ?
T0 = 85 °CTa = 22 °CT(28) = 49 °CT = 30 °C
t = min
4.Moyen
Une tasse de café à 85 °C est laissée dans une pièce à 18 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,12 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 13 min.
T0 = 85 °CTa = 18 °Ck = 0,12 min⁻¹t = 13 min
T = °C
5.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 3y/x = 5x pour x > 0, avec y(1) = 2. Trouvez y(3).
y′ + 3y/x = 5xy(1) = 2
y(3) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + y′ + 4,25y = 4,25 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,5) ; angles en radians.
y″ + y′ + 4,25y = 4,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
Corrigé
- 1. t = 8,528 h
- 2. k = 0,0903 h⁻¹
- 3. t = 68,2 min
- 4. T = 32,08 °C
- 5. y(3) = 9,037
- 6. y(0.5) = 0,4154
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