1.Facile
Pour l’équation y″ + 3y′ + 2y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 3y′ + 2y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une culture bactérienne commence avec 500 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,17 h⁻¹. Au bout de combien d’heures t y a-t-il 5000 cellules ?
N0 = 500k = 0,17 h⁻¹N = 5000
t = h
3.Moyen
Une tasse de café à 94 °C est laissée dans une pièce à 23 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,06 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 27 min.
T0 = 94 °CTa = 23 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 27 min
T = °C
4.Moyen
Une canette de soda à 6 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 27 °C. Au bout de 28 min, sa température est de 23 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 13 °C ?
T0 = 6 °CTa = 27 °CT(28) = 23 °CT = 13 °C
t = min
5.Difficile
Résolvez y″ + 2y′ + 5y = 0 avec y(0) = 10 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(0,25) ; angles en radians.
y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.25) =
6.Difficile
Résolvez y″ + 3y′ + 27,25y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(1,5) ; angles en radians.
y″ + 3y′ + 27,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(1.5) =
Corrigé
- 1. r = −1
- 2. t = 13,54 h
- 3. T = 37,05 °C
- 4. t = 6,846 min
- 5. y(0.25) = 8,702
- 6. y(1.5) = 0,06619
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