1.Facile
Une grandeur décroît selon dy/dt = −k·y avec k > 0. Elle vaut 50 à t = 0 et 15 à t = 4 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 50y(4) = 15
k = h⁻¹
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 29 jours. Un échantillon contient initialement 120 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 85 jours ?
m0 = 120 mgt½ = 29 dt = 85 d
m = mg
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 420 °C refroidit dans un atelier à 20 °C. Au bout de 50 min, sa température est de 167 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 420 °CTa = 20 °CT(50) = 167 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Une canette de soda à 6 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 28 °C. Au bout de 15 min, sa température est de 21 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 6 °CTa = 28 °CT(15) = 21 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Une cuve contient 500 L d’eau pure. De la saumure contenant 0,2 kg de sel par litre entre à 2 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 40 kg de sel ?
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min
t = min
6.Difficile
Une cuve contient 100 L d’eau pure. De la saumure contenant 0,2 kg de sel par litre entre à 10 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 6 kg de sel ?
V = 100 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min
t = min
Corrigé
- 1. k = 0,301 h⁻¹
- 2. m = 15,73 mg
- 3. k = 0,02002 min⁻¹
- 4. k = 0,07634 min⁻¹
- 5. t = 127,7 min
- 6. t = 3,567 min
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