1.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 4,8y′ + 36y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 4,8y′ + 36y = 0
ζ =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une culture bactérienne commence avec 1500 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,07 h⁻¹. Combien de cellules N y a-t-il au bout de 22 h ?
N0 = 1500k = 0,07 h⁻¹t = 22 h
N =
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 460 °C refroidit dans un atelier à 21 °C. Au bout de 10 min, sa température est de 346 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 426 °C ?
T0 = 460 °CTa = 21 °CT(10) = 346 °CT = 426 °C
t = min
4.Moyen
Résolvez y″ + 8y′ + 16y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = -1. Trouvez y(1).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = -1
y(1) =
5.Difficile
Un système obéit à y″ + 3y′ + 11,25y = 22,5 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + 3y′ + 11,25y = 22,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Difficile
Résolvez y″ + 4y′ + 20y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(0,75) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 20y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(0.75) =
Corrigé
- 1. ζ = 0,4
- 2. N = 6997
- 3. t = 2,681 min
- 4. y(1) = 0,1648
- 5. ymax = 2,416
- 6. y(0.75) = −0,4103
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