1.Facile
Une culture bactérienne commence avec 1500 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,36 h⁻¹. Au bout de combien d’heures t y a-t-il 7500 cellules ?
N0 = 1500k = 0,36 h⁻¹N = 7500
t = h
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Pour l’équation y″ + 5y′ + 6y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 5y′ + 6y = 0
r =
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 440 °C refroidit dans un atelier à 20 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,05 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 10 min.
T0 = 440 °CTa = 20 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 10 min
T = °C
4.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 380 °C refroidit dans un atelier à 23 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,05 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 36 min.
T0 = 380 °CTa = 23 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 36 min
T = °C
5.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = 3 pour x > 0, avec y(1) = −2. Trouvez y(2).
y′ + 2y/x = 3y(1) = −2
y(2) =
6.Difficile
Une cuve contient 1000 L d’eau pure. De la saumure contenant 0,1 kg de sel par litre entre à 5 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 80 min ?
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
Corrigé
- 1. t = 4,471 h
- 2. r = −2
- 3. T = 274,7 °C
- 4. T = 82,01 °C
- 5. y(2) = 1,25
- 6. m = 32,97 kg
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