1.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 1,2y′ + 36y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 1,2y′ + 36y = 0
ζ =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une grandeur décroît selon dy/dt = −k·y avec k > 0. Elle vaut 80 à t = 0 et 20 à t = 11 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 80y(11) = 20
k = h⁻¹
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 440 °C refroidit dans un atelier à 24 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,04 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 33 min.
T0 = 440 °CTa = 24 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 33 min
T = °C
4.Moyen
Résolvez y″ + 6y′ + 9y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = 0. Trouvez y(1,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
5.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = 4x2 pour x > 0, avec y(1) = −3. Trouvez y(3).
y′ + 2y/x = 4x2y(1) = −3
y(3) =
6.Difficile
Une cuve contient 500 L d’eau dans laquelle 10 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,2 kg de sel par litre entre à 4 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 55 kg de sel ?
V = 500 Lm0 = 10 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min
t = min
Corrigé
- 1. ζ = 0,1
- 2. k = 0,126 h⁻¹
- 3. T = 135,1 °C
- 4. y(1.5) = 0,3055
- 5. y(3) = 21,18
- 6. t = 86,64 min
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