1.Facile
Pour l’équation y″ + 7y′ + 12y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 7y′ + 12y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une grandeur croît selon dy/dt = k·y avec k > 0. Elle vaut 80 à t = 0 et 320 à t = 2 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 80y(2) = 320
k = h⁻¹
3.Moyen
Résolvez y″ + 4y′ + 3y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = 0. Trouvez y(2).
y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(2) =
4.Moyen
Une canette de soda à 4 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 22 °C. Au bout de 19 min, sa température est de 18 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 20 °C ?
T0 = 4 °CTa = 22 °CT(19) = 18 °CT = 20 °C
t = min
5.Difficile
Un système obéit à y″ + y′ + 16,25y = 32,5 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + y′ + 16,25y = 32,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + y/x = 4x2 pour x > 0, avec y(1) = 4. Trouvez y(2).
y′ + y/x = 4x2y(1) = 4
y(2) =
Corrigé
- 1. r = −3
- 2. k = 0,6931 h⁻¹
- 3. y(2) = 1,009
- 4. t = 27,76 min
- 5. ymax = 3,35
- 6. y(2) = 9,5
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