1.Facile
Pour l’équation y″ + 5y′ + 4y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 5y′ + 4y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une grandeur croît selon dy/dt = k·y avec k > 0. Elle vaut 250 à t = 0 et 825 à t = 11 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 250y(11) = 825
k = h⁻¹
3.Moyen
Résolvez y″ + 6y′ + 9y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = 2. Trouvez y(1,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = 2
y(1.5) =
4.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 460 °C refroidit dans un atelier à 21 °C. Au bout de 45 min, sa température est de 301 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 175 °C ?
T0 = 460 °CTa = 21 °CT(45) = 301 °CT = 175 °C
t = min
5.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 20y = 40 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + 4y′ + 20y = 40y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Difficile
Une cuve contient 100 L d’eau dans laquelle 10 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,05 kg de sel par litre entre à 5 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 8 kg de sel ?
V = 100 Lm0 = 10 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min
t = min
Corrigé
- 1. r = −1
- 2. k = 0,1085 h⁻¹
- 3. y(1.5) = 0,3388
- 4. t = 104,8 min
- 5. ymax = 2,416
- 6. t = 10,22 min
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