1.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 6y′ + 25y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 6y′ + 25y = 0
ζ =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Pour l’équation y″ + 8y′ + 12y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 8y′ + 12y = 0
r =
3.Moyen
Résolvez y″ + 7y′ + 12y = 0 avec y(0) = 4 et y′(0) = 0. Trouvez y(0,5).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = 0
y(0.5) =
4.Moyen
Une tasse de café à 88 °C est laissée dans une pièce à 22 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,06 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 23 min.
T0 = 88 °CTa = 22 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 23 min
T = °C
5.Difficile
Une cuve contient 100 L d’eau dans laquelle 5 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,1 kg de sel par litre entre à 2 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 7 kg de sel ?
V = 100 Lm0 = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 2 L/min
t = min
6.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + y/x = 3x2 pour x > 0, avec y(1) = 2. Trouvez y(3).
y′ + y/x = 3x2y(1) = 2
y(3) =
Corrigé
- 1. ζ = 0,6
- 2. r = −2
- 3. y(0.5) = 1,946
- 4. T = 38,6 °C
- 5. t = 25,54 min
- 6. y(3) = 20,67
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