1.Facile
Pour l’équation y″ + 6y′ + 5y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 6y′ + 5y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une grandeur décroît selon dy/dt = −k·y avec k > 0. Elle vaut 100 à t = 0 et 50 à t = 8 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 100y(8) = 50
k = h⁻¹
3.Moyen
Résolvez y″ + 6y′ + 9y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = -2. Trouvez y(0,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 3y′(0) = -2
y(0.5) =
4.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 360 °C refroidit dans un atelier à 25 °C. Au bout de 47 min, sa température est de 76 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 25 °CT(47) = 76 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 3y/x = 2x2 pour x > 0, avec y(1) = 3. Trouvez y(3).
y′ + 3y/x = 2x2y(1) = 3
y(3) =
6.Difficile
Résolvez y″ + 4y′ + 29y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(1) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 29y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(1) =
Corrigé
- 1. r = −1
- 2. k = 0,08664 h⁻¹
- 3. y(0.5) = 1,45
- 4. k = 0,04005 min⁻¹
- 5. y(3) = 9,099
- 6. y(1) = −0,02704
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