1.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + y′ + 4y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + y′ + 4y = 0
ζ =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 6,4y′ + 16y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 6,4y′ + 16y = 0
ζ =
3.Moyen
Une tasse de café à 88 °C est laissée dans une pièce à 18 °C. Au bout de 26 min, sa température est de 25 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 21 °C ?
T0 = 88 °CTa = 18 °CT(26) = 25 °CT = 21 °C
t = min
4.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 440 °C refroidit dans un atelier à 23 °C. Au bout de 52 min, sa température est de 170 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 440 °CTa = 23 °CT(52) = 170 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Une cuve contient 400 L d’eau dans laquelle 5 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,25 kg de sel par litre entre à 4 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 34 kg de sel ?
V = 400 Lm0 = 5 kgc = 0,25 kg/Lr = 4 L/min
t = min
6.Difficile
Un système obéit à y″ + y′ + 9,25y = 18,5 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,5) ; angles en radians.
y″ + y′ + 9,25y = 18,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
Corrigé
- 1. ζ = 0,25
- 2. ζ = 0,8
- 3. t = 35,57 min
- 4. k = 0,02005 min⁻¹
- 5. t = 36,42 min
- 6. y(0.5) = 1,631
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