Fiche d’exercices de Tests d'hypothèse et intervalles de confiance avec corrigé

Une entreprise affirme qu’une proportion de 0,2 de ses clients sont satisfaits. Dans une enquête aléatoire auprès de 500 clients, 78 se disent satisfaits. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : p = 0,2.

Un fournisseur affirme que la résistance moyenne à la rupture d’un câble vaut 500 kN ; vous soupçonnez qu’elle est plus élevée. L’écart-type est connu et vaut 5 kN. Vous prélevez un échantillon de 25 câbles et testez H₀ : μ = 500 kN contre H₁ : μ > 500 kN au seuil α = 0,05. Au-dessus de quelle moyenne d’échantillon x̄_c rejetterez-vous H₀ ?

Deux lignes de production fabriquent la même pièce. Ligne 1 : un échantillon de 40 pièces a une longueur moyenne de 50,5 mm, et l’écart-type connu de la ligne vaut 3 mm. Ligne 2 : un échantillon de 60 pièces a une moyenne de 52,8 mm, écart-type connu 5 mm. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (ligne 1 moins ligne 2).

La moyenne d’une population est censée valoir 250 ; l’écart-type de la population est connu et vaut 18. Un échantillon aléatoire de 144 observations a une moyenne de 253,39. Testez H₀ : μ = 250 contre H₁ : μ > 250. Trouvez la valeur p p.

Un test z unilatéral de H₀ : μ = 100 contre H₁ : μ > 100 est réalisé au seuil α = 0,10 avec un échantillon de 36 ; l’écart-type est connu et vaut 12. En réalité, la moyenne vaut 102,2. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.

Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 2 ? L'écart-type est 4. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.