Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (s + 18)/(s² + 4s + 23). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.

F(s) = (s + 18)/(s² + 4s + 23)
f′(0⁺) =
2.Facile
t (s)f(t)t = 0,4f(0,4) = ?

Trouvez la transformée de Laplace inverse f(t) de F(s) = 4/(s + 2) + 8/s à l’aide d’une table de couples de transformées, et calculez f(0,4).

F(s) = 4/(s + 2) + 8/st = 0,4 s
f(0.4) =
3.Moyen
t (s)f(t)t = 0,1f(0,1) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = (s + 37)/(s² + 6s + 9) et calculez f(0,1).

F(s) = (s + 37)/(s² + 6s + 9)t = 0,1 s
f(0.1) =
4.Moyen
t (s)f(t)t = 0,2f(0,2) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = 60/(s(s + 2)(s + 4)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(0,2).

F(s) = 60/(s(s + 2)(s + 4))t = 0,2 s
f(0.2) =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,1y(0,1) = ?

Un système obéit à y″ + 8y′ + 15y = 60·u(t). Il part du repos (y(0) = 0, y′(0) = 0) et l’entrée est un échelon u(t) = 5 pour t ≥ 0. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver la sortie y(0,1).

y″ + 8y′ + 15y = 60·u(t)u(t) = 5y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0,1 s
y(0.1) =
6.Difficile
t (s)y(t)t = 0,8y(0,8) = ?

Un système obéit à y″ + 3y′ + 2y = 8·u(t), avec y(0) = 4 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 2. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(0,8).

y″ + 3y′ + 2y = 8·u(t)y(0) = 4y′(0) = 0u(t) = 2t = 0,8 s
y(0.8) =

Corrigé

  1. 1. f′(0⁺) = 14
  2. 2. f(0.4) = 9,797
  3. 3. f(0.1) = 3,26
  4. 4. f(0.2) = 0,8152
  5. 5. y(0.1) = 1,155
  6. 6. y(0.8) = 5,213

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