Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (2s + 2)/(s² + 9s + 10). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.

F(s) = (2s + 2)/(s² + 9s + 10)
f′(0⁺) =
2.Facile
t (s)f(t)f(0⁺) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (6s + 2)/(s² + 14s + 48). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.

F(s) = (6s + 2)/(s² + 14s + 48)
f(0⁺) =
3.Moyen
ReIm−1−2−3−4−5−6−7−8−91

F(s) = (5s + 3)/(s² + 15s + 56). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−7t + B·e−8t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = (5s + 3)/(s² + 15s + 56)
A =
4.Moyen
t (s)f(t)t = 0,3f(0,3) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = 40/(s(s + 2)(s + 6)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(0,3).

F(s) = 40/(s(s + 2)(s + 6))t = 0,3 s
f(0.3) =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,3y(0,3) = ?

Un système obéit à y″ + 10y′ + 24y = 12·u(t). Il part du repos (y(0) = 0, y′(0) = 0) et l’entrée est un échelon u(t) = 5 pour t ≥ 0. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver la sortie y(0,3).

y″ + 10y′ + 24y = 12·u(t)u(t) = 5y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0,3 s
y(0.3) =
6.Difficile
t (s)y(t)t = 0,3y(0,3) = ?

Résolvez y″ + 9y′ + 18y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = −11 à l’aide de la transformée de Laplace, et trouvez y(0,3).

y″ + 9y′ + 18y = 0y(0) = 2y′(0) = −11t = 0,3 s
y(0.3) =

Corrigé

  1. 1. f′(0⁺) = −16
  2. 2. f(0⁺) = 6
  3. 3. A = −32
  4. 4. f(0.3) = 0,8648
  5. 5. y(0.3) = 1,068
  6. 6. y(0.3) = 0,411

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