Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)f(0⁺) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−3s + 4)/(s² + 9s + 18). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.

F(s) = (−3s + 4)/(s² + 9s + 18)
f(0⁺) =
2.Facile
t (s)f(t)f(∞) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = 9(s + 6)/(s(s + 1)(s + 8)). Utilisez le théorème de la valeur finale pour trouver la valeur f(∞) vers laquelle f(t) se stabilise.

F(s) = 9(s + 6)/(s(s + 1)(s + 8))
f(∞) =
3.Moyen
ReIm−2−4−6−824

Trouvez f(t) pour F(s) = (3s + 26)/(s² + 4s + 20) en complétant le carré, et calculez f(0,75).

F(s) = (3s + 26)/(s² + 4s + 20)t = 0,75 s
f(0.75) =
4.Moyen
t (s)f(t)t = 1,2f(1,2) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = 40/(s(s + 1)(s + 3)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(1,2).

F(s) = 40/(s(s + 1)(s + 3))t = 1,2 s
f(1.2) =
5.Difficile
ReIm−1−2−3−4−512

Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 2y′ + 5y = 3u′ + 15u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 0,1 s. Trouvez g(0,1).

y″ + 2y′ + 5y = 3u′ + 15ut = 0,1 s
g(0.1) =
6.Difficile
t (s)y(t)t = 0,3y(0,3) = ?

Un système obéit à y″ + 8y′ + 15y = 30·u(t), avec y(0) = 2 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 5. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(0,3).

y″ + 8y′ + 15y = 30·u(t)y(0) = 2y′(0) = 0u(t) = 5t = 0,3 s
y(0.3) =

Corrigé

  1. 1. f(0⁺) = −3
  2. 2. f(∞) = 6,75
  3. 3. f(0.75) = −0,5053
  4. 4. f(1.2) = 7,492
  5. 5. g(0.1) = 3,739
  6. 6. y(0.3) = 4,546

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