Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)f(0⁺) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (6s² + 25s + 54)/(s(s + 3)(s + 7)). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.

F(s) = (6s² + 25s + 54)/(s(s + 3)(s + 7))
f(0⁺) =
2.Facile
t (s)f(t)t = 0,5f(0,5) = ?

Trouvez la transformée de Laplace inverse f(t) de F(s) = 10/(s + 1)² à l’aide d’une table de couples de transformées, et calculez f(0,5).

F(s) = 10/(s + 1)²t = 0,5 s
f(0.5) =
3.Moyen
t (s)f(t)t = 0,6f(0,6) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = 20/(s(s + 2)(s + 4)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(0,6).

F(s) = 20/(s(s + 2)(s + 4))t = 0,6 s
f(0.6) =
4.Moyen
ReIm−1−2−3−4−5−6−7−8−91

F(s) = (6s + 10)/(s² + 10s + 16). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−2t + B·e−8t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = (6s + 10)/(s² + 10s + 16)
A =
5.Difficile
ReIm−1−2−3−4−51

Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 9y′ + 20y = 2u′ + 3u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 0,25 s. Trouvez g(0,25).

y″ + 9y′ + 20y = 2u′ + 3ut = 0,25 s
g(0.25) =
6.Difficile
t (s)y(t)t = 0,3y(0,3) = ?

Résolvez y″ + 6y′ + 8y = 0 avec y(0) = 6 et y′(0) = 5 à l’aide de la transformée de Laplace, et trouvez y(0,3).

y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 6y′(0) = 5t = 0,3 s
y(0.3) =

Corrigé

  1. 1. f(0⁺) = 6
  2. 2. f(0.5) = 3,033
  3. 3. f(0.6) = 1,221
  4. 4. A = −0,3333
  5. 5. g(0.25) = 0,1661
  6. 6. y(0.3) = 5,398

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