Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (4s + 34)/(s² + 4s + 9). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.

F(s) = (4s + 34)/(s² + 4s + 9)
f′(0⁺) =
2.Facile
t (s)f(t)f(0⁺) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−6s + 30)/(s² + 7s + 12). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.

F(s) = (−6s + 30)/(s² + 7s + 12)
f(0⁺) =
3.Moyen
ReIm−1−2−3−4−51

F(s) = 18/(s² + 8s + 15). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−3t + B·e−5t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = 18/(s² + 8s + 15)
A =
4.Moyen
t (s)f(t)t = 0,25f(0,25) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = 45/(s(s + 2)(s + 3)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(0,25).

F(s) = 45/(s(s + 2)(s + 3))t = 0,25 s
f(0.25) =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,4y(0,4) = ?

Résolvez y″ + 6y′ + 8y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 14 à l’aide de la transformée de Laplace, et trouvez y(0,4).

y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 1y′(0) = 14t = 0,4 s
y(0.4) =
6.Difficile
t (s)y(t)t = 0,2y(0,2) = ?

Un système obéit à y″ + 9y′ + 20y = 120·u(t). Il part du repos (y(0) = 0, y′(0) = 0) et l’entrée est un échelon u(t) = 5 pour t ≥ 0. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver la sortie y(0,2).

y″ + 9y′ + 20y = 120·u(t)u(t) = 5y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0,2 s
y(0.2) =

Corrigé

  1. 1. f′(0⁺) = 18
  2. 2. f(0⁺) = −6
  3. 3. A = 9
  4. 4. f(0.25) = 0,9386
  5. 5. y(0.4) = 2,429
  6. 6. y(0.2) = 6,746

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