1.Facile
Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (6s + 39)/(s² + 5s + 20). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.
F(s) = (6s + 39)/(s² + 5s + 20)
f′(0⁺) =
Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé
2.Facile
Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−s + 23)/(s² + 3s + 21). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.
F(s) = (−s + 23)/(s² + 3s + 21)
f′(0⁺) =
3.Moyen
F(s) = (6s + 20)/(s² + 12s + 35). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−5t + B·e−7t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.
F(s) = (6s + 20)/(s² + 12s + 35)
A =
4.Moyen
Trouvez f(t) pour F(s) = (2s + 17)/(s² + 8s + 16) et calculez f(0,25).
F(s) = (2s + 17)/(s² + 8s + 16)t = 0,25 s
f(0.25) =
5.Difficile
Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 5y′ + 4y = 4u′ + 7u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 1 s. Trouvez g(1).
y″ + 5y′ + 4y = 4u′ + 7ut = 1 s
g(1) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 11y′ + 30y = 120·u(t), avec y(0) = 2 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 4. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(0,1).
y″ + 11y′ + 30y = 120·u(t)y(0) = 2y′(0) = 0u(t) = 4t = 0,1 s
y(0.1) =
Corrigé
- 1. f′(0⁺) = 9
- 2. f′(0⁺) = 26
- 3. A = −5
- 4. f(0.25) = 1,563
- 5. g(1) = 0,4228
- 6. y(0.1) = 3,468
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