Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)f(∞) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = 25/(s(s² + 7s + 19)). Utilisez le théorème de la valeur finale pour trouver la valeur f(∞) vers laquelle f(t) se stabilise.

F(s) = 25/(s(s² + 7s + 19))
f(∞) =
2.Facile
t (s)f(t)

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−8s + 39)/(s² + 2s + 16). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.

F(s) = (−8s + 39)/(s² + 2s + 16)
f′(0⁺) =
3.Moyen
ReIm−5−10−15−20−25−30

Trouvez f(t) pour F(s) = (s + 28)/(s² + 8s + 17) en complétant le carré, et calculez f(0,5).

F(s) = (s + 28)/(s² + 8s + 17)t = 0,5 s
f(0.5) =
4.Moyen
ReIm−1−2−3−4−5−61

F(s) = (2s + 9)/(s² + 11s + 30). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−5t + B·e−6t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = (2s + 9)/(s² + 11s + 30)
A =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,2y(0,2) = ?

Un système obéit à y″ + 9y′ + 20y = 60·u(t). Il part du repos (y(0) = 0, y′(0) = 0) et l’entrée est un échelon u(t) = 5 pour t ≥ 0. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver la sortie y(0,2).

y″ + 9y′ + 20y = 60·u(t)u(t) = 5y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0,2 s
y(0.2) =
6.Difficile
t (s)y(t)t = 0,1y(0,1) = ?

Résolvez y″ + 7y′ + 10y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = −5 à l’aide de la transformée de Laplace, et trouvez y(0,1).

y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 3y′(0) = −5t = 0,1 s
y(0.1) =

Corrigé

  1. 1. f(∞) = 1,316
  2. 2. f′(0⁺) = 55
  3. 3. f(0.5) = 1,676
  4. 4. A = −1
  5. 5. y(0.2) = 3,373
  6. 6. y(0.1) = 2,527

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