Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)f(∞) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = 18(s + 3)/(s(s + 4)(s + 5)). Utilisez le théorème de la valeur finale pour trouver la valeur f(∞) vers laquelle f(t) se stabilise.

F(s) = 18(s + 3)/(s(s + 4)(s + 5))
f(∞) =
2.Facile
t (s)f(t)

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−8s + 32)/(s² + 3s + 12). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.

F(s) = (−8s + 32)/(s² + 3s + 12)
f′(0⁺) =
3.Moyen
ReIm−1−2−3−4−512

Trouvez f(t) pour F(s) = (4s + 20)/(s² + 8s + 20) en complétant le carré, et calculez f(0,3).

F(s) = (4s + 20)/(s² + 8s + 20)t = 0,3 s
f(0.3) =
4.Moyen
t (s)f(t)t = 0,25f(0,25) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = 20/(s(s + 5)(s + 6)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(0,25).

F(s) = 20/(s(s + 5)(s + 6))t = 0,25 s
f(0.25) =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,3y(0,3) = ?

Résolvez y″ + 7y′ + 12y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = 5 à l’aide de la transformée de Laplace, et trouvez y(0,3).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 2y′(0) = 5t = 0,3 s
y(0.3) =
6.Difficile
ReIm−1−2−3−4−51

Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 5y′ + 6y = 3u′ + 15u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 0,1 s. Trouvez g(0,1).

y″ + 5y′ + 6y = 3u′ + 15ut = 0,1 s
g(0.1) =

Corrigé

  1. 1. f(∞) = 2,7
  2. 2. f′(0⁺) = 56
  3. 3. f(0.3) = 1,334
  4. 4. f(0.25) = 0,2644
  5. 5. y(0.3) = 1,972
  6. 6. g(0.1) = 2,924

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