Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)t = 0,5f(0,5) = ?

Trouvez la transformée de Laplace inverse f(t) de F(s) = 15s/(s² + 4) à l’aide d’une table de couples de transformées, et calculez f(0,5).

F(s) = 15s/(s² + 4)t = 0,5 s
f(0.5) =
2.Facile
t (s)f(t)f(0⁺) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−3s + 3)/(s² + 9s + 20). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.

F(s) = (−3s + 3)/(s² + 9s + 20)
f(0⁺) =
3.Moyen
ReIm−22

Trouvez f(t) pour F(s) = 17/(s² + 6s + 18) en complétant le carré, et calculez f(0,25).

F(s) = 17/(s² + 6s + 18)t = 0,25 s
f(0.25) =
4.Moyen
t (s)f(t)t = 0,6f(0,6) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = 45/(s(s + 1)(s + 3)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(0,6).

F(s) = 45/(s(s + 1)(s + 3))t = 0,6 s
f(0.6) =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,4y(0,4) = ?

Un système obéit à y″ + 7y′ + 6y = 24·u(t), avec y(0) = 6 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 2. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(0,4).

y″ + 7y′ + 6y = 24·u(t)y(0) = 6y′(0) = 0u(t) = 2t = 0,4 s
y(0.4) =
6.Difficile
ReIm−2−4−6−8−10−122

Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 4y′ + 8y = u′ + 12u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 0,6 s. Trouvez g(0,6).

y″ + 4y′ + 8y = u′ + 12ut = 0,6 s
g(0.6) =

Corrigé

  1. 1. f(0.5) = 8,105
  2. 2. f(0⁺) = −3
  3. 3. f(0.25) = 1,825
  4. 4. f(0.6) = 3,891
  5. 5. y(0.4) = 6,428
  6. 6. g(0.6) = 1,513

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