Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)t = 0,1f(0,1) = ?

Trouvez la transformée de Laplace inverse f(t) de F(s) = 15/(s² + 16) à l’aide d’une table de couples de transformées, et calculez f(0,1).

F(s) = 15/(s² + 16)t = 0,1 s
f(0.1) =
2.Facile
t (s)f(t)f(0⁺) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−9s² + 12s + 7)/(s(s + 1)(s + 2)). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.

F(s) = (−9s² + 12s + 7)/(s(s + 1)(s + 2))
f(0⁺) =
3.Moyen
ReIm−5−10−15−20−25

Trouvez f(t) pour F(s) = (s + 22)/(s² + 8s + 25) en complétant le carré, et calculez f(0,3).

F(s) = (s + 22)/(s² + 8s + 25)t = 0,3 s
f(0.3) =
4.Moyen
ReIm−1−2−312

Trouvez f(t) pour F(s) = 29/(s² + 6s + 13) en complétant le carré, et calculez f(0,3).

F(s) = 29/(s² + 6s + 13)t = 0,3 s
f(0.3) =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,3y(0,3) = ?

Un système obéit à y″ + 3y′ + 2y = 4·u(t), avec y(0) = 2 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 4. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(0,3).

y″ + 3y′ + 2y = 4·u(t)y(0) = 2y′(0) = 0u(t) = 4t = 0,3 s
y(0.3) =
6.Difficile
ReIm−55

Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 4y′ + 29y = 2u′ + 15u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 0,75 s. Trouvez g(0,75).

y″ + 4y′ + 29y = 2u′ + 15ut = 0,75 s
g(0.75) =

Corrigé

  1. 1. f(0.1) = 1,46
  2. 2. f(0⁺) = −9
  3. 3. f(0.3) = 1,603
  4. 4. f(0.3) = 3,329
  5. 5. y(0.3) = 2,403
  6. 6. g(0.75) = −0,6468

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