Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−5s + 22)/(s² + 4s + 15). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.

F(s) = (−5s + 22)/(s² + 4s + 15)
f′(0⁺) =
2.Facile
t (s)f(t)t = 1f(1) = ?

Trouvez la transformée de Laplace inverse f(t) de F(s) = 3/(s² + 4) à l’aide d’une table de couples de transformées, et calculez f(1).

F(s) = 3/(s² + 4)t = 1 s
f(1) =
3.Moyen
ReIm−1−2−3−4−5−61

F(s) = (4s + 24)/(s² + 8s + 15). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−3t + B·e−5t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = (4s + 24)/(s² + 8s + 15)
A =
4.Moyen
ReIm−5−10−15−20−25−30

F(s) = (s + 29)/(s² + 5s + 6). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−2t + B·e−3t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = (s + 29)/(s² + 5s + 6)
A =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,1y(0,1) = ?

Un système obéit à y″ + 8y′ + 12y = 36·u(t), avec y(0) = 6 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 5. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(0,1).

y″ + 8y′ + 12y = 36·u(t)y(0) = 6y′(0) = 0u(t) = 5t = 0,1 s
y(0.1) =
6.Difficile
t (s)y(t)t = 0,3y(0,3) = ?

Un système obéit à y″ + 6y′ + 8y = 32·u(t). Il part du repos (y(0) = 0, y′(0) = 0) et l’entrée est un échelon u(t) = 5 pour t ≥ 0. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver la sortie y(0,3).

y″ + 6y′ + 8y = 32·u(t)u(t) = 5y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0,3 s
y(0.3) =

Corrigé

  1. 1. f′(0⁺) = 42
  2. 2. f(1) = 1,364
  3. 3. A = 6
  4. 4. A = 27
  5. 5. y(0.1) = 6,417
  6. 6. y(0.3) = 4,071

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