Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)f(∞) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 7)). Utilisez le théorème de la valeur finale pour trouver la valeur f(∞) vers laquelle f(t) se stabilise.

F(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 7))
f(∞) =
2.Facile
t (s)f(t)f(0⁺) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−8s + 15)/(s² + 9s + 8). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.

F(s) = (−8s + 15)/(s² + 9s + 8)
f(0⁺) =
3.Moyen
ReIm−1−2−3−4−5−6−71

F(s) = (6s + 39)/(s² + 11s + 30). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−5t + B·e−6t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = (6s + 39)/(s² + 11s + 30)
A =
4.Moyen
ReIm−1−2−3−4−5−6−7−81

F(s) = (6s + 13)/(s² + 8s + 7). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−t + B·e−7t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = (6s + 13)/(s² + 8s + 7)
A =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,3y(0,3) = ?

Résolvez y″ + 9y′ + 18y = 0 avec y(0) = −6 et y′(0) = −10 à l’aide de la transformée de Laplace, et trouvez y(0,3).

y″ + 9y′ + 18y = 0y(0) = −6y′(0) = −10t = 0,3 s
y(0.3) =
6.Difficile
ReIm−1−2−3−4−5−6−7−812

Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 2y′ + 5y = 2u′ + 15u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 0,5 s. Trouvez g(0,5).

y″ + 2y′ + 5y = 2u′ + 15ut = 0,5 s
g(0.5) =

Corrigé

  1. 1. f(∞) = 4,286
  2. 2. f(0⁺) = −8
  3. 3. A = 9
  4. 4. A = 1,167
  5. 5. y(0.3) = −4,691
  6. 6. g(0.5) = 3,973

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