1.Facile
Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−8s + 29)/(s² + 9s + 20). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.
F(s) = (−8s + 29)/(s² + 9s + 20)
f(0⁺) =
Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé
2.Facile
Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−4s² + 24s + 5)/(s(s + 1)(s + 2)). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.
F(s) = (−4s² + 24s + 5)/(s(s + 1)(s + 2))
f(0⁺) =
3.Moyen
Trouvez f(t) pour F(s) = 8/(s² + 8s + 32) en complétant le carré, et calculez f(0,5).
F(s) = 8/(s² + 8s + 32)t = 0,5 s
f(0.5) =
4.Moyen
F(s) = 7/(s² + 10s + 21). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−3t + B·e−7t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.
F(s) = 7/(s² + 10s + 21)
A =
5.Difficile
Un système obéit à y″ + 3y′ + 2y = 2·u(t), avec y(0) = 5 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 10. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(0,4).
y″ + 3y′ + 2y = 2·u(t)y(0) = 5y′(0) = 0u(t) = 10t = 0,4 s
y(0.4) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t). Il part du repos (y(0) = 0, y′(0) = 0) et l’entrée est un échelon u(t) = 1 pour t ≥ 0. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver la sortie y(0,4).
y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t)u(t) = 1y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0,4 s
y(0.4) =
Corrigé
- 1. f(0⁺) = −8
- 2. f(0⁺) = −4
- 3. f(0.5) = 0,2461
- 4. A = 1,75
- 5. y(0.4) = 5,543
- 6. y(0.4) = 1,024
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