Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (4s + 4)/(s² + 2s + 27). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.

F(s) = (4s + 4)/(s² + 2s + 27)
f′(0⁺) =
2.Facile
t (s)f(t)f(∞) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = 5/(s(s² + 4s + 14)). Utilisez le théorème de la valeur finale pour trouver la valeur f(∞) vers laquelle f(t) se stabilise.

F(s) = 5/(s(s² + 4s + 14))
f(∞) =
3.Moyen
t (s)f(t)t = 0,5f(0,5) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = (2s + 13)/(s² + 6s + 9) et calculez f(0,5).

F(s) = (2s + 13)/(s² + 6s + 9)t = 0,5 s
f(0.5) =
4.Moyen
ReIm−55

Trouvez f(t) pour F(s) = (2s + 12)/(s² + 6s + 45) en complétant le carré, et calculez f(0,2).

F(s) = (2s + 12)/(s² + 6s + 45)t = 0,2 s
f(0.2) =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,2y(0,2) = ?

Un système obéit à y″ + 9y′ + 20y = 60·u(t), avec y(0) = 4 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 1. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(0,2).

y″ + 9y′ + 20y = 60·u(t)y(0) = 4y′(0) = 0u(t) = 1t = 0,2 s
y(0.2) =
6.Difficile
t (s)y(t)t = 1,2y(1,2) = ?

Un système obéit à y″ + 6y′ + 5y = 30·u(t). Il part du repos (y(0) = 0, y′(0) = 0) et l’entrée est un échelon u(t) = 5 pour t ≥ 0. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver la sortie y(1,2).

y″ + 6y′ + 5y = 30·u(t)u(t) = 5y(0) = 0, y′(0) = 0t = 1,2 s
y(1.2) =

Corrigé

  1. 1. f′(0⁺) = −4
  2. 2. f(∞) = 0,3571
  3. 3. f(0.5) = 1,227
  4. 4. f(0.2) = 0,9092
  5. 5. y(0.2) = 3,775
  6. 6. y(1.2) = 18,72

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