Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)f(∞) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = 11/(s(s² + 5s + 13)). Utilisez le théorème de la valeur finale pour trouver la valeur f(∞) vers laquelle f(t) se stabilise.

F(s) = 11/(s(s² + 5s + 13))
f(∞) =
2.Facile
t (s)f(t)f(0⁺) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (s + 13)/(s² + 10s + 24). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.

F(s) = (s + 13)/(s² + 10s + 24)
f(0⁺) =
3.Moyen
t (s)f(t)t = 0,5f(0,5) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = 50/(s(s + 3)(s + 6)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(0,5).

F(s) = 50/(s(s + 3)(s + 6))t = 0,5 s
f(0.5) =
4.Moyen
ReIm−1−2−3−4−5−6−7−8−91

F(s) = 27/(s² + 13s + 40). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−5t + B·e−8t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = 27/(s² + 13s + 40)
A =
5.Difficile
ReIm−1−2−3−4−51

Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 9y′ + 20y = 3u′ + 10u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 0,2 s. Trouvez g(0,2).

y″ + 9y′ + 20y = 3u′ + 10ut = 0,2 s
g(0.2) =
6.Difficile
t (s)y(t)t = 0,6y(0,6) = ?

Un système obéit à y″ + 7y′ + 10y = 40·u(t), avec y(0) = 5 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 10. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(0,6).

y″ + 7y′ + 10y = 40·u(t)y(0) = 5y′(0) = 0u(t) = 10t = 0,6 s
y(0.6) =

Corrigé

  1. 1. f(∞) = 0,8462
  2. 2. f(0⁺) = 1
  3. 3. f(0.5) = 1,676
  4. 4. A = 9
  5. 5. g(0.2) = 0,9407
  6. 6. y(0.6) = 23,59

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