Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)f(0⁺) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (5s² + 8s + 7)/(s(s + 2)(s + 6)). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.

F(s) = (5s² + 8s + 7)/(s(s + 2)(s + 6))
f(0⁺) =
2.Facile
t (s)f(t)f(0⁺) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (3s² + 27s + 22)/(s(s + 5)(s + 8)). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.

F(s) = (3s² + 27s + 22)/(s(s + 5)(s + 8))
f(0⁺) =
3.Moyen
ReIm−224

Trouvez f(t) pour F(s) = (4s + 12)/(s² + 2s + 17) en complétant le carré, et calculez f(0,4).

F(s) = (4s + 12)/(s² + 2s + 17)t = 0,4 s
f(0.4) =
4.Moyen
ReIm−1−2−3−4−5−6−7−8−91

F(s) = (4s + 10)/(s² + 12s + 32). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−4t + B·e−8t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = (4s + 10)/(s² + 12s + 32)
A =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,3y(0,3) = ?

Un système obéit à y″ + 8y′ + 15y = 15·u(t), avec y(0) = 4 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 4. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(0,3).

y″ + 8y′ + 15y = 15·u(t)y(0) = 4y′(0) = 0u(t) = 4t = 0,3 s
y(0.3) =
6.Difficile
t (s)y(t)t = 0,2y(0,2) = ?

Un système obéit à y″ + 7y′ + 12y = 12·u(t). Il part du repos (y(0) = 0, y′(0) = 0) et l’entrée est un échelon u(t) = 2 pour t ≥ 0. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver la sortie y(0,2).

y″ + 7y′ + 12y = 12·u(t)u(t) = 2y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0,2 s
y(0.2) =

Corrigé

  1. 1. f(0⁺) = 5
  2. 2. f(0⁺) = 3
  3. 3. f(0.4) = 1,262
  4. 4. A = −1,5
  5. 5. y(0.3) = 4
  6. 6. y(0.2) = 0,3055

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