Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)t = 1,5f(1,5) = ?

Trouvez la transformée de Laplace inverse f(t) de F(s) = 19/(s² + 25) à l’aide d’une table de couples de transformées, et calculez f(1,5).

F(s) = 19/(s² + 25)t = 1,5 s
f(1.5) =
2.Facile
t (s)f(t)f(∞) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = 37/(s(s² + 6s + 16)). Utilisez le théorème de la valeur finale pour trouver la valeur f(∞) vers laquelle f(t) se stabilise.

F(s) = 37/(s(s² + 6s + 16))
f(∞) =
3.Moyen
ReIm−2−4−6−8−10−12

F(s) = (3s + 32)/(s² + 6s + 5). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−t + B·e−5t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = (3s + 32)/(s² + 6s + 5)
A =
4.Moyen
ReIm−2−4−6−824

Trouvez f(t) pour F(s) = (4s + 30)/(s² + 6s + 25) en complétant le carré, et calculez f(0,25).

F(s) = (4s + 30)/(s² + 6s + 25)t = 0,25 s
f(0.25) =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 1,2y(1,2) = ?

Un système obéit à y″ + 7y′ + 6y = 12·u(t), avec y(0) = 4 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 2. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(1,2).

y″ + 7y′ + 6y = 12·u(t)y(0) = 4y′(0) = 0u(t) = 2t = 1,2 s
y(1.2) =
6.Difficile
ReIm−2−4−6−8−10

Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 6y′ + 8y = 2u′ + 18u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 0,6 s. Trouvez g(0,6).

y″ + 6y′ + 8y = 2u′ + 18ut = 0,6 s
g(0.6) =

Corrigé

  1. 1. f(1.5) = 3,564
  2. 2. f(∞) = 2,313
  3. 3. A = 7,25
  4. 4. f(0.25) = 2,81
  5. 5. y(1.2) = 4
  6. 6. g(0.6) = 1,655

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