Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (3s + 26)/(s² + 5s + 6). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.

F(s) = (3s + 26)/(s² + 5s + 6)
f′(0⁺) =
2.Facile
t (s)f(t)t = 0,25f(0,25) = ?

Trouvez la transformée de Laplace inverse f(t) de F(s) = 8/(s + 6) + 4/s à l’aide d’une table de couples de transformées, et calculez f(0,25).

F(s) = 8/(s + 6) + 4/st = 0,25 s
f(0.25) =
3.Moyen
ReIm−1−2−3−4−5−6−7−8−91

F(s) = 24/(s² + 9s + 8). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−t + B·e−8t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = 24/(s² + 9s + 8)
A =
4.Moyen
t (s)f(t)t = 0,3f(0,3) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = 60/(s(s + 1)(s + 4)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(0,3).

F(s) = 60/(s(s + 1)(s + 4))t = 0,3 s
f(0.3) =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,2y(0,2) = ?

Un système obéit à y″ + 7y′ + 6y = 6·u(t), avec y(0) = 4 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 4. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(0,2).

y″ + 7y′ + 6y = 6·u(t)y(0) = 4y′(0) = 0u(t) = 4t = 0,2 s
y(0.2) =
6.Difficile
t (s)y(t)t = 1,2y(1,2) = ?

Résolvez y″ + 3y′ + 2y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = −13 à l’aide de la transformée de Laplace, et trouvez y(1,2).

y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 3y′(0) = −13t = 1,2 s
y(1.2) =

Corrigé

  1. 1. f′(0⁺) = 11
  2. 2. f(0.25) = 5,785
  3. 3. A = 3,429
  4. 4. f(0.3) = 1,69
  5. 5. y(0.2) = 4
  6. 6. y(1.2) = −1,201

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