Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−8s + 22)/(s² + 3s + 9). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.

F(s) = (−8s + 22)/(s² + 3s + 9)
f′(0⁺) =
2.Facile
t (s)f(t)f(∞) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = 11/(s(s² + 8s + 9)). Utilisez le théorème de la valeur finale pour trouver la valeur f(∞) vers laquelle f(t) se stabilise.

F(s) = 11/(s(s² + 8s + 9))
f(∞) =
3.Moyen
ReIm−1−2−3−4−5−6−7−8−91

Trouvez f(t) pour F(s) = (4s + 32)/(s² + 8s + 17) en complétant le carré, et calculez f(0,4).

F(s) = (4s + 32)/(s² + 8s + 17)t = 0,4 s
f(0.4) =
4.Moyen
t (s)f(t)t = 0,5f(0,5) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = 35/(s(s + 3)(s + 5)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(0,5).

F(s) = 35/(s(s + 3)(s + 5))t = 0,5 s
f(0.5) =
5.Difficile
ReIm−0,5−1−1,5−2−2,5−3−3,5−4−4,50,51

Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 7y′ + 12y = 7u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 0,4 s. Trouvez g(0,4).

y″ + 7y′ + 12y = 7ut = 0,4 s
g(0.4) =
6.Difficile
t (s)y(t)t = 0,25y(0,25) = ?

Résolvez y″ + 5y′ + 4y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = −2 à l’aide de la transformée de Laplace, et trouvez y(0,25).

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = −2t = 0,25 s
y(0.25) =

Corrigé

  1. 1. f′(0⁺) = 46
  2. 2. f(∞) = 1,222
  3. 3. f(0.4) = 2,002
  4. 4. f(0.5) = 1,319
  5. 5. g(0.4) = 0,6951
  6. 6. y(0.25) = 2,473

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