Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)t = 0,4f(0,4) = ?

Trouvez la transformée de Laplace inverse f(t) de F(s) = 3/(s² + 4) à l’aide d’une table de couples de transformées, et calculez f(0,4).

F(s) = 3/(s² + 4)t = 0,4 s
f(0.4) =
2.Facile
t (s)f(t)f(0⁺) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−8s + 1)/(s² + 8s + 7). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.

F(s) = (−8s + 1)/(s² + 8s + 7)
f(0⁺) =
3.Moyen
ReIm−1−2−3−4−51

F(s) = 5/(s² + 6s + 5). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−t + B·e−5t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = 5/(s² + 6s + 5)
A =
4.Moyen
t (s)f(t)t = 0,5f(0,5) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = 35/(s(s + 1)(s + 6)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(0,5).

F(s) = 35/(s(s + 1)(s + 6))t = 0,5 s
f(0.5) =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,25y(0,25) = ?

Un système obéit à y″ + 10y′ + 24y = 48·u(t), avec y(0) = 6 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 1. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(0,25).

y″ + 10y′ + 24y = 48·u(t)y(0) = 6y′(0) = 0u(t) = 1t = 0,25 s
y(0.25) =
6.Difficile
ReIm5

Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 2y′ + 26y = 3u′ + 5u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 0,5 s. Trouvez g(0,5).

y″ + 2y′ + 26y = 3u′ + 5ut = 0,5 s
g(0.5) =

Corrigé

  1. 1. f(0.4) = 1,076
  2. 2. f(0⁺) = −8
  3. 3. A = 1,25
  4. 4. f(0.5) = 1,646
  5. 5. y(0.25) = 4,63
  6. 6. g(0.5) = −1,313

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