1.Facile
Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−2s + 24)/(s² + 15s + 56). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.
F(s) = (−2s + 24)/(s² + 15s + 56)
f(0⁺) =
Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé
2.Facile
Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−2s + 25)/(s² + 9s + 22). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.
F(s) = (−2s + 25)/(s² + 9s + 22)
f′(0⁺) =
3.Moyen
Trouvez f(t) pour F(s) = 50/(s(s + 1)(s + 3)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(1,2).
F(s) = 50/(s(s + 1)(s + 3))t = 1,2 s
f(1.2) =
4.Moyen
F(s) = 19/(s² + 3s + 2). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−t + B·e−2t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.
F(s) = 19/(s² + 3s + 2)
A =
5.Difficile
Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 2y′ + 17y = u′ + 18u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 0,25 s. Trouvez g(0,25).
y″ + 2y′ + 17y = u′ + 18ut = 0,25 s
g(0.25) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 6y′ + 8y = 32·u(t), avec y(0) = 6 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 2. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(0,4).
y″ + 6y′ + 8y = 32·u(t)y(0) = 6y′(0) = 0u(t) = 2t = 0,4 s
y(0.4) =
Corrigé
- 1. f(0⁺) = −2
- 2. f′(0⁺) = 43
- 3. f(1.2) = 9,365
- 4. A = 19
- 5. g(0.25) = 3,206
- 6. y(0.4) = 6,606
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